量子态不可克隆定理不成立的证明

  • 时间:
  • 浏览:3

  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不处在 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可克隆qq定理”。本文证明你这俩 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态就有可不能否 克隆qq的,证明如此 量子态可克隆qq的条件为,实际上认为量子态可不能否 克隆qq,“量子态不可克隆qq定理”名不符之什么都。本文进一步证明,处在无穷多的满足你这俩 有4个 多条件,就让“量子态不可克隆qq定理”应当改为“量子态可克隆qq定理”。2.表示有4个 多正交的量子态可不能否 克隆qq,对于的非正交态的情形,现有理论如此讨论,本文完正讨论你这俩 情形。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态可不能否 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总可不能否 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可克隆qq的条件。4. 量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会意味自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却可不能否 将纯态波函数变打上去任意波函数,如此 的算符不机会处在。5. 量子态克隆qq的真正难题什么都如此于理论上与否不能克隆qq,而在于克隆qq过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你这俩 不机会性与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。6. 多量实验证明,微观粒子的单量子态就有可不能否 克隆qq的,说量子态不可克隆qq毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的就有光子的单个偏振态,它们就有可不能否 克隆qq的。由此本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”是有4个 多概念含糊、矛盾重重、完正错误的命题。建立在你这俩 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不处在。

  关键词 量子力学,量子通讯,克隆qq算符,量子态不可克隆qq定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可克隆qq定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可克隆qq定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你这俩 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现处在许多难题。“量子态不可克隆qq定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不处在的。

  从“量子态不可克隆qq定理”的证明过程可不能否 看出,该定理的前提是假定任意量子态都可不能否 克隆qq。就让给出另外有4个 多量子态可不能否 克隆qq的条件为,不满足这有4个 多条件的态才是不可克隆qq的。代表有4个 多态正交,表示有4个 多态不正交,它们就有可不能否 克隆qq的。就让“量子态不可克隆qq定理”名不符之什么都!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的克隆qq算符定义,对于任意量子态,处在无穷多的满足的条件。对于的情形,现有理论认为它意味,是有4个 多平庸解,如此讨论价值。本文指出暂且一定意味,并对你这俩 情形进行完正讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都可不能否 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总可不能否 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可克隆qq条件。就让“量子态不可克隆qq定理”实际上应当改成“量子态不可克隆qq定理”。

  许多文献又把该定理称为“未知量子态不可克隆qq定理”,然而对哪些是未知的量子态,却如此明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可克隆qq定理”的说法在字面上也不有难题的,机会有4个 多量子态是未知的,我不知道原型和模板,又为什么不能克隆qq呢?比如对于叠加态,机会已知,你这俩 态就已知。机会任意,你这俩 态就未知。要克隆qq你这俩 态首先需用知道。这是先决条件,未知态不可克隆qq的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对克隆qq算符的定义,即使未知,仍以可不能否 找到无穷多的,使之满足的条件,就让“未知量子态不可克隆qq定理”的说法也是不成立的。

  将量子克隆qq算符对波函数叠加态作用,会意味自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子克隆qq算符的定义是自相矛盾的。将量子态克隆qq算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你这俩 算符作用在有4个 多纯态上,却可不能否 将它变成任意波函数,如此 的算符是不处在的。事实上量子克隆qq算符也不有4个 多抽象符号,如此具体形式。机会其定义是自相矛盾的,在数学上根本不机会找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都需用有它的具体形式。

  事实上,量子态克隆qq的真正难题什么都如此于理论上与否不能克隆qq,而在于克隆qq过程如何输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量意味波函数崩塌。量子态克隆qq过程首先需用输入量子态,而输入过程不可不能否 看成这俩测量操作。就让量子叠加态是不可输入的,机会一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你这俩 意义上,谈论线性叠加态的克隆qq是如此意义,但它与“量子态不可克隆qq定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可克隆qq定理”显然与事实不符。多量实验证明,微观粒子的单量子态就有可不能否 克隆qq的。激光器不但不能克隆qq单个光子,以可不能否够大批量地克隆qq各种光子。连续光谱激光器不但可不能否 克隆qq这俩单光子,就让可不能否 通过调整参数,来多量克隆qq各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就机会是有4个 多相当开花结果是什么是什么是什么是什么 图片 图片 图片 图片 图片 是什么是什么期的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的就有光子的单个偏振态,而就有所谓的线性叠加态,它们就有可不能否 克隆qq的。然而“量子态不可克隆qq定理”给人的一般印象却是,任何量子态就有可克隆qq,这是不真实的。

  实际量子态的克隆qq涉及相互作用,是有4个 多非常复杂化的过程,就有用Wootters定义的你这俩 简单算符就能表示的。“量子态不可克隆qq定理”是有4个 多概念含糊、矛盾重重、完正错误的命题,不但毫无意义,就让严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  就让本文的结论是,“量子态不可克隆qq定理”不成立,量子通讯所谓的具与否条件保密性的物理学基础不处在。

  二.“量子态不可克隆qq定理”的证明

  “量子态不可克隆qq定理”的证明之什么都非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待克隆qq模板的粒子处在任意态,另外有4个 多粒子处在标准的纯态。Wootters和Zurek引入有4个 多克隆qq量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式如何,Wootters如此说明,不可不能否根据具体的情形取舍。与图片复印的过程比较,算符为宜复印机,为宜要复印的图片,为宜白纸。

  采用相同的纯态,将克隆qq算符对另外有4个 多任意态作用,按照(1)式就有:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有有4个 多解,。机会这有4个 多条件满足,就可不能否 克隆qq。机会不满足,就不可克隆qq。现有理论讨论了的情形,对的情形如此讨论,本文重点对的情形进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态可不能否 克隆qq。即处在有4个 多算符,可不能否 把纯态变成态,就让讨论在哪些情形下可不能否 克隆qq的难题。意味正交态是可不能否 克隆qq的,用通俗的语言说,假设有一台量子克隆qq机,它不能克隆qq 态,就一定不能克隆qq与态正交的态,但不可不能否克隆qq与不正交并肩又有的态。

  就让按照你这俩 证明,量子态就有不可不能否 克隆qq,也不有取舍性地克隆qq。对于不同的量子态,需用不同的克隆qq机,大伙儿儿可不能否 制造不同的克隆qq机,来克隆qq不同的量子态。就让所谓的“量子态不可克隆qq定理”名不符之什么都,实际上应当改成“通用量子态克隆qq机不处在定理”。

  三.“量子态不可克隆qq定理”不成立的证明

  3. 1 量子态克隆qq算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,克隆qq算符对波函数的作用满足以下关系:

这意味不改变任意波函数,即,但却可不能否 将纯态波函数变成,即意味是不变算符,即。机会也是任意的,与可不能否 完正不一样,意味就有不变算符,应当将写为:

机会,就有,就让量子克隆qq算符的定义自相矛盾,是不机会处在的。

  大伙儿儿可不能否 举有4个 多具体的例子。假设要克隆qq氢原子的第一激发态,有4个 多合理的做法也不,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

机会式正交的,按照(2)的定义,是可不能否 克隆qq的,克隆qq过程是:

显然不机会找到有4个 多算符,能使 并肩成立,就让(8)式不机会成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都复杂化化。要将有4个 多纯态波函数变成另外有4个 多波函数保持不变,又可不能否 将任意纯态波函数变成态波函数。在你这俩 算符基础上证明“量子态不可克隆qq定理”是如此意义的。

  3. 2 量子态克隆qq算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也机会不成立。举有4个 多简单例子,氢原子的跃迁过程满足许多禁戒规则,比如角量子数和磁量子数需用满足。就让从基态到诸如的激发态是不机会的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是可不能否 克隆qq的。

  事实上,量子态的克隆qq是有4个 多非常复杂化的难题,根本不机会通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的克隆qq算符的基础上的,所谓的“量子态不可克隆qq定理”毫无意义。

  3. 2 处在无穷多的可克隆qq非正交态

  以下证明对于,仍以可不能否 有。按照(4)式,你这俩 非正交态仍以可不能否 克隆qq。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下有4个 多基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有取舍本征值的本征函数处在正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上可不能否 严格证明,任意量子力学定态波函数都可不能否 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上有4个 多性质,大伙儿儿来重新讨论“量子态不可克隆qq定理”的证明。将系统的任意有4个 多波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

机会,(13)式变成:

要使(14)式成立,需用:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数机会是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余有4个 多方程,有有4个 多未知数,唯一取舍。解方程得。就让对于的情形,对于任意波函数,总可不能否 找到另外有4个 多波函数与它正交。按照Wootters对克隆qq算符的定义,它们就有可不能否 克隆qq的。

  对于的情形,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余有4个 多方程,取舍有4个 多未知数,就与否穷多种土办法。也也不说对于,可不能否 与否穷多个与之正交,因而通用量子态克隆qq机处在。

  对于不正交,的情形,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的有4个 多方程解得,就让不可不能否才机会。意味你这俩 态可不能否 克隆qq,但一台克隆qq机不可不能否克隆qq有4个 多量子态。

  对的情形,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的有4个 多方程,取舍有4个 多未知数,原则上与否穷多个解。机会它们都不能满足(4)和(16)式,按照定义就有可不能否 克隆qq的。

  以下举有4个 多具体例子,比如,从第有4个 多式子得到。取舍,按照(20)式,可得以下波函数:

这有4个 多波函数是非正交的,但仍然满足可克隆qq条件,可不能否 用同一台克隆qq机克隆qq。

  任意取舍的值,可不能否 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情形下,“量子态不可克隆qq定理”不成立。大伙儿儿总可不能否 找到无穷多的,使它们满足可克隆qq的条件。

  3. 3 克隆qq算符作用于线性叠加态意味矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是可不能否 克隆qq的。在(4)式的导出过程中,可不能否 是单态,不可不能否 是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将克隆qq算符作用其上,可不能否 得到这俩结果。第这俩是克隆qq算符先对单个态作用,即:

第二种克隆qq算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是可不能否 实现的,理由是基矢可不能否 克隆qq的。(24)式则是不可实现,但如此说明意味。

  你这俩 看法之什么都特别道理,但如此找到难题的本质。机会按照克隆qq算符的定义,以上这俩计算土办法就有合理的。大伙儿儿不可不能否说哪这俩对哪这俩错,从逻辑上不可不能否 认为(24)式如此错。事实上,(11)、(21)和(22)式就有叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们就有可不能否 克隆qq的。

  以下来讨论(24)式不机会成立的意味。可不能否 将(24)式看成克隆qq算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,不能测量的是波函数的平方,就有:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不机会改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然处在。产生难题的本质意味在于,如前文所述,克隆qq算符的定义(1)式这俩也不矛盾的。你这俩 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用也不有4个 多例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的克隆qq难题,需用先了解线性叠加态的真内外部理意义。量子力学些有4个 多统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由有4个 多态组成,经常出现的几率是态经常出现的几率是。它暂且意味有4个 多态可不能否 并肩经常出现,也不认为在任意时刻只经常出现其中的有4个 多态。

  比如对于氢原子中的有4个 多电子,它不机会并肩即处在基态,又处在第一激发态。这有4个 多情形处在能量差,从基态进入激发态是需用能量输入的。大伙儿儿不机会并肩克隆qq氢原子的这有4个 多态,不可不能否克隆qq其中的有4个 多态。在你这俩 意义上,谈论线性叠加态的克隆qq这俩也不如此意义的。

  机会按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的有4个 多态。比如对于叠加态,任何单次测量不可不能否得到其中的有4个 多态,不机会并肩得到有4个 多态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  就让量子态克隆qq真正的难题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的强度,为了不能克隆qq有4个 多量子叠加态,首先需用进行测量,以了解你这俩 态的情形。克隆qq过程需用输入和输出量子态,而输入和输出不可不能否 看成是这俩测量。机会测量意味叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不机会的。

  在实际的过程中,量子态的克隆qq涉及复杂化的相互作用,就有用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可克隆qq定理”处在很多的难题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上就有可不能否 用克隆qq的,大伙儿儿应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有取舍本征值的单态就有可克隆qq的。对量子定态波函数的叠加态,每一次克隆qq将得到其中的有4个 多单态,多次克隆qq结果得到态的几率为

  不可不能否如此 理解,不能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义克隆qq算符这俩也不自相矛盾的。将克隆qq算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却可不能否 将变成任意。你这俩 自相矛盾的算符在数学上是不机会处在的,意味“量子态不可克隆qq定理”成为有4个 多含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对克隆qq算符的定义,满足的量子态就有可不能否 克隆qq的。而在实际的过程中,满足这有4个 多条件的量子态却暂且不能克隆qq。就让“量子态不可克隆qq定理”不处在。

  机会考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总可不能否 找到有4个 多波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了可不能否 找到无数的波函数与它正交外,还可不能否 找到无数个波函数,使它们的积分满足。就让“量子态不可克隆qq定理”实际上应当称为“量子态可克隆qq定理”。

  将克隆qq算符作用到量子叠加态,会意味矛盾的结果。这暂且意味叠加态不可克隆qq,也不克隆qq算符的定义这俩有难题。量子态克隆qq的真正难题在于,叠加态的输入和输出是不机会的,你这俩 不机会性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者都看中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释难题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…大伙儿儿迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你这俩 二元情形不仅带来认识论方面的误导,就让土办法备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的难题”,物理学家需用“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,避免量子观念的滥用意味的认识论上的难题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你这俩 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是有4个 多科学哲学难题,但现在它机会就有纯理论难题。它机会越界进入技术领域,就让深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都可不能否 都看哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有4个 多多奇怪的说法,即有4个 多量子态在如此被测量就让大伙儿儿对它哪些也不能说。它是处在叠加态,而就有取舍态。波尔有句名言:有4个 多难题在如此被观察就让不可不能否说是有4个 多难题。具体地说,对于有4个 多自旋为的粒子,在如此进行测量就让,不可不能否说它的自旋为。机会按照波函数的叠加公式,它或许机会处在态。再比如对于有4个 多水平偏振的光子,在如此被测量就让,大伙儿儿不可不能否说它是水平偏振的,机会按照波函数的线性叠加公式,它机会是垂直偏振。你这俩 看法与实际完正不符,它机会破坏物理守恒规律,意味荒诞的结果。

  比如甲向乙发射有4个 多自旋为粒子,乙方接受到的一定是有4个 多自旋为的粒子。机会角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不机会改变的。同样,甲向乙发射有4个 多水平偏振的光子,机会乙用水平偏振器测量,你这俩 光子总要通过,说明你这俩 光子的偏振在运动过程中如此改变。意味是光的偏振方向也不电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不用改变。机会用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。意味是偏振器使光子的电场方向改变,而就有该光子如此取舍的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是多量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的有4个 多系统。在任意时刻,量子体系要么处在态,要么处在情形,不机会即处在情形又处在情形,也不机会并肩处在态。就让这这俩解释是等价的,也不说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的克隆qq也是如此意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的就有单量子态,不机会是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不机会是叠加态。“量子态不可克隆qq定理”是有4个 多完正不靠谱的理论,它把克隆qq过程用有4个 多如此简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完正不符。在真实的物理学中,要克隆qq有4个 多量子态涉及复杂化的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿放进复印机,一按键盘就了事。在哪些基本难题如此搞清楚就让,就声称量子态不可克隆qq。甚至明明知道单量子态和正交态可不能否 克隆qq,明明知道激光器也不光子克隆qq机,却仍然声称量子态不可克隆qq,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量就让微观粒子可不能否 并肩处在多重情形,用测量意味波函数崩塌来解释一切。以你这俩 完正错误的理论为基础,技术开发必然意味失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是有4个 多典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯如此 重要的事情寄托在你这俩 完正不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则机会是另外有4个 多例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的机会。按照量子力学的统计系综解释,任何时能 刻有4个 多微观粒子不可不能否处在某个取舍的情形,不机会处在叠加态,线性叠加也不这俩统计平均的表示土办法。按照量子力学的测量理论,任何时能 刻有4个 多微观粒子可不能否 处在叠加态,但测量意味波函数崩塌。就让叠加态既不可不能否输入也不能输出,量子计算机就机会是有4个 多空头理论上的东西,在现实中难以实现。你这俩 难题累似 与量子计算机的消相干难题,但又有不同。从技术上说消相干是机会的,但叠加态的输入和输出是不机会的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称机会做出量子计算机,就让就有真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。大伙儿儿机会也不利用微观粒子的有4个 多分立情形做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它也不对传统电子计算机的模拟,而就有真正利用了叠加态,不能进行叠加态并行计算的量子计算机。也不量子计算机专家机会还如此认识到你这俩 点,机会说一群人知道你这俩 点,但想要要说出来罢了。关于你这俩 难题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,10002-10003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,10006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释难题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.